特定根偏序集中反链的轨道

本文给出了 Propp 和 Roby 定理的另一个证明，即在偏序集 $[m]\times [n]$ 的任意反序算子轨道中，反链的平均大小为 $\frac{mn}{m+n}$。可以设想我们的方法也适用于其他情况。作为演示，我们证明了 $[m]\times K_{n-1}$ 的任意反序算子轨道中反链的平均大小等于 $\frac{2mn}{m+2n-1}$。这里 $K_{n-1}$ 是极小偏序集 $[n-1]\oplus ([1] \sqcup [1]) \oplus [n-1]$。注意 $[m]\times [n]$ 和 $[m]\times K_{n-1}$ 可以被解释为特定根偏序集的子族。我们猜测这些根偏序集应该提供一个统一的环境来展示由 Propp 和 Roby 定义的同偏现象。