布朗运动的最优捕获：扭转函数的非线性类比

我们研究在有界域中最大化漂移项扩散期望寿命的问题。更形式化地，我们考虑偏微分方程 $$- \Delta u + b(x) \cdot \nabla u = 1 \qquad \mbox{in}~\Omega$$ 在$\|b\|_{L^{\infty}}$固定下服从狄利克雷边界条件。我们证明，在任意给定$C^2$域$\Omega$中，使期望寿命最大化的向量场与解（非线性地）耦合，并满足$b = -\|b\|_{L^{\infty}} \nabla u/ |\nabla u|$，这将问题化简为如下非线性偏微分方程的研究 $$-\Delta u - b \cdot \left| \nabla u \right| = 1,$$ 其中$b = \|b\|_{L^{\infty}}$为常数。我们认为该偏微分方程是扭转函数的一个自然且有趣的非线性类比。我们证明，对于固定体积，$\| \nabla u\|_{L^1}$与$\|\Delta u\|_{L^1}$在$\Omega$为球时取最大值（由Hamel与Russ的结果已知球也使$p \geq 1$时的$\|u\|_{L^p}$最大）。