窄逃逸问题,第三部分:黎曼曲面与非光滑区域

我们考虑二维黎曼流形 $(\Sigma,g)$ 上有界区域 $\Omega$ 中的布朗运动。假设边界 $\p\Omega$ 光滑并反射轨迹,除了一小段吸收弧 $\p\Omega_a\subset\p\Omega$。当 $\p\Omega_a$ 收缩为零时,在 $\p\Omega_a$ 中被吸收的期望时间趋于无穷。窄逃逸问题在于构造期望寿命(记为 $E\tau$)当 $\epsilon=|\partial \Omega_a|_g/|\partial \Omega|_g\to0$ 时的渐近展开。我们导出首阶渐近近似 $E\tau = \ds{\frac{|\Omega|_g}{D\pi}}[\log\ds{\frac{1}{\epsilon}}+O(1)]$。对于球面上单连通区域,该 $O(1)$ 项可通过球极投影到复平面并共形映射到圆盘来求值;对于可共形映射到环面的区域也可求值。该项在现实应用(如神经元棘突上受体的运输)中是必需的,因为即便 $\epsilon$ 很小,$\log\ds{\frac{1}{\epsilon}}$ 也不一定很大。若吸收窗位于角度为 $\alpha$ 的角点处,则 $E\tau = \ds{\frac{|\Omega|_g}{D\alpha}}[\log\ds{\frac{1}{\epsilon}}+O(1)]$;若在尖点附近,则 $E\tau$ 代数是增长而非对数增长。因此,在两个相切圆之间的区域中,期望寿命为 $E\tau = \ds{\frac{|\Omega|}{(d^{-1}-1)D}}(\frac{1}{\epsilon} + O(1))$。