振荡生存概率：振荡窄逃逸的解析与数值研究及其在神经网络动力学中的应用

我们研究了具有强漂移的稳定焦点吸引域 $\Omega$ 中 Brownian 运动的逃逸问题。$\Omega$的边界$\partial \Omega$是漂移的不稳定极限环，且焦点非常接近该极限环。我们发现了一种新现象，即$\Omega$中 Brownian 运动生存概率峰值的振荡衰减。我们显式计算了具有 Dirichlet 边界条件的 Fokker-Planck 算子的复值第二特征值$\lambda_2(\Omega)$，并表明其导致了峰值的出现。具体而言，我们证明主导振荡频率等于$1/{\mathfrak{I}}m\{\lambda_2(\Omega)\}$，且与相对噪声强度无关。我们将该分析应用于一个典型系统，并将$\partial \Omega$上的出口点密度与随机模拟得到的结果进行了比较。我们发现该密度集中在边界的一小部分，从而使逃逸成为一个窄逃逸问题。与经典激活逃逸问题不同，主特征值不一定随相对噪声强度的衰减而呈指数衰减。振荡窄逃逸问题出现在具有突触抑制的神经网络数学模型中。我们识别出网络在特定状态停留时间的密度中的振荡峰值。这一观察结果解释了逃逸前随机轨迹围绕焦点的振荡以及非 Poisson 逃逸时间。该现象已在神经网络文献中被观察并报道。