$U(1)$的最优拓扑生成元

Sarnak黄金均猜想指出，对所有整数$m\ge1$，有$(m+1)d_\varphi(m)\le1+\frac{2}{\sqrt{5}}$，其中$\varphi$为黄金均，$d_\theta$为$m+1$个$\theta$模1倍数的偏差函数。在本文中，我们刻画了具有此性质的取值集合$\mathcal{S}$，以及对于那些从某一下界$m\ge M$起具有该性质者的集合$\mathcal{T}$。值得注意的是，$\mathcal{S}\text{ mod }1$仅有16个元素，而$\mathcal{T}$是$\varphi$的$GL_2(\mathbb{Z})$变换的集合。