金属平均数王氏砖 I：自相似性、非周期性与极小性

对于每个正整数 $n$，我们引入一个由 $(n+3)^2$ 块王氏砖（带标号边的单位正方形）组成的集合 $\mathcal{T}_n$。我们将这些砖的平移铺砌表示为配置 $\mathbb{Z}^2\to\mathcal{T}_n$。如果相邻砖的共同边具有相同的标号，则该配置是有效的。对于每个 $n\geq1$，我们证明王氏移位 $\Omega_n$（定义为砖 $\mathcal{T}_n$ 上的有效配置集合）在移位作用下是自相似的、非周期的且极小的。我们称 $\{\Omega_n\}_{n\geq1}$ 为金属平均数王氏移位族，因为 $\Omega_n$ 自相似性的膨胀因子是多项式 $x^2-nx-1$ 的正根。该根有时被称为第 $n$ 个金属平均数，特别地，当 $n=1$ 时为黄金平均数，当 $n=2$ 时为白银平均数。当 $n=1$ 时，王氏砖集合 $\mathcal{T}_1$ 等价于 Ammann 的 16 块王氏砖非周期集合。