Jeandel-Rao 非周期平铺的代换结构

Jeandel 和 Rao 证明了 Wang 瓷砖（即带彩色边的单位正方形）的最小集合大小为 11，使得该集合容许平面的有效平铺（相邻瓷砖的 contiguous 边颜色相同），且其中没有任何平铺在非平凡平移下保持不变。本文研究由 Jeandel 和 Rao 发现的 11 块非周期 Wang 瓷砖集合 $\mathcal{T}_0$ 构成的所有有效平铺组成的 Wang 移位 $\Omega_0$。我们证明存在一个 $\Omega_0$ 的极小子移位 $X_0$，使得 $X_0$ 中的每块平铺都能唯一地分解为 19 个不同的、大小从 45 到 112 不等的块，这些块等价于一组 19 个自相似且非周期的 Wang 瓷砖。我们认为这几乎完整地描述了 Jeandel-Rao 平铺的代换结构，因为我们相信对于 $\Omega_0$ 上任意移位不变的概率测度，$\Omega_0\setminus X_0$ 都是零测集。证明基于 12 个基本步骤，其中 10 个涉及同一过程，该过程通过一组标记瓷砖的存在性对 Wang 平铺进行去代换。另外 2 个步骤涉及添加装饰以处理断错线，并通过剪切共轭改变 $\mathbb{Z}^2$-作用的基。本文给出了从一组 Wang 瓷砖中寻找标记、可识别代换和剪切共轭的算法。