金属均值 Wang 瓷砖 II：非周期性计算机芯片的动力学

我们考虑一族新的非周期性 Wang 瓷砖集合 $(\mathcal{T}_n)_{n\geq1}$，并描述有效配置集合 $\Omega_n$（$\mathbb{Z}^2\to\mathcal{T}_n$）的动力学性质。这些瓷砖可以定义为输入和输出为三维整数向量的方形计算机芯片的不同实例。该族包含 Ammann 的 16 块非周期性 Wang 瓷砖集合，并汇集了其他小型非周期性 Wang 瓷砖集合的特征。值得注意的是，这些瓷砖满足 Kari--Culik 的 14 块和 13 块非周期性 Wang 瓷砖集合所验证方程的加性版本。此外，$\Omega_n$ 中的配置是二维环面上 $\mathbb{Z}^2$ 作用的编码，如同 Jeandel--Rao 的 11 块非周期性 Wang 瓷砖集合。该族扩展了二次整数与非周期性密铺之间的关系，超越了无处不在的黄金比例，因为 $\Omega_n$ 的动力学涉及多项式 $x^2-nx-1$ 的正根 $\beta$，也称为第 $n$ 个金属均值。我们证明了存在一个几乎一对一的因子映射 $\Omega_n\to\mathbb{T}^2$，它与 $\Omega_n$ 上的移位作用以及 $\mathbb{T}^2$ 上水平和垂直平移 $\beta$ 交换。该因子映射可以通过同一行瓷砖顶部标签的平均值显式定义，如 Kari 和 Culik 的例子所示。证明基于 $\Omega_n$ 的极小性（在前一篇文章中证明）以及 $\mathbb{T}^2$ 的多边形分割，我们证明该分割是环面 $\mathbb{Z}^2$ 作用的 Markov 分割。该分割和 Wang 瓷砖集合是对称的，这使得它们像 Penrose 密铺一样值得研究。