正多边形的第一族及其突变
摘要
每个正 N 边形都定义了一个正多边形规范族，这些正多边形符合由 N 确定的“星形多边形”的边界。这些星形多边形由 N 边形的截断延长边形成，其交点（“星”点）确定了一个缩放比例，该缩放比例定义了该族的参数。在前 3 节中，我们使用这些 star[k] 点来定义 scale[k] 及匹配的 S[k] “瓦片”，且不依赖于任何映射。在第 4 节中，我们引入外台球映射 Tau，并证明 S[k] 第一族瓦片被奇点集 W 所保持，因此它们是 Tau 的基本“共振”。在下一层级，每个 star[k] 定义了一个 {N,k} 星形多边形轨道，该轨道跳过 N 的 k 个顶点，因此其周期为 N/gcd(k,N)，且引理 4.1 定义了 star[k] 与 cS[k] 之间的对偶性，从而 S[k] 具有相同的周期。这是几何与动力学之间的关键联系。由于 star[k] 位于 W 中，这些 {N,k} 星形多边形也位于 W 中，并且它们定义了不变区域的框架。在附录 II 中，我们表明每个 Tau 不变区域由成对的“对偶”S[k]-S[k'] 瓦片为界，其中当 N 为偶数时 k' = N/2-k。边共享引理表明这些瓦片共享一条边，且该共享边与 N 的一个星点对齐。C.L. Siegel 于 1949 年的结果指出，满足 gcd(k,N) = 1 的本原 star[k] 是独立的，且它们与 N 的顶点具有相同的秩，即 C(N) = EulerPhi[N]/2。不变性猜想指出，所有正 N 边形将在 W 中具有 C(N)-1 个不同的不变区域。这些不变区域与传统的 KAM“岛屿”之间存在令人惊讶的高度相关性，因此可能存在一个适用于正多边形的 KAM 定理，其中修改后的 {N,k} 充当分界线，并且某种形式的 KAM“cantori”可能在 W 的“残差集”中存活，该残差集被猜想具有零测度。
引用
@article{arxiv.1612.09295,
title = {First Families of Regular Polygons and their Mutations},
author = {G. H. Hughes},
journal= {arXiv preprint arXiv:1612.09295},
year = {2026}
}
备注
81 pages with all images clickable. This paper is the capstone of H[1] to H[7] which span about 35 years. Appendix II discusses large scale invariance and Appendix III has Open Questions