群代数张量：可证明最优的等变学习与物理对称性发现
机器学习
2026-05-21 v1 人工智能
环与代数
摘要
我们引入 张量代数，其中任何有限群 定义乘法规则，使等变性成为内在代数属性而非架构约束。该框架建立在三个经机器验证的理论支柱之上：(i) 对 -SVD 的埃克阿特-怀生最优性保证：首个关于保持对称性张量逼近的确切且多项式时间的最优结果；(ii) 克罗内克分解通过替换 为 实现多个对称性的组合，无需重新设计架构；(iii) 600 行的 Lean 4 形式化 代数。该框架提供了等变神经网络（ENN）从未能实现的能力：对每个预测的每个不可约表示的分解，以闭形式表示；以及数据驱动发现最适合数据集的对称性群。作为非平凡的实证演示， 将 QM9 分子几何在手性八面体子群 上进行分解，从数据中alone 恢复角动量的 Wigner-Eckart 选择规则，无需量子力学输入：标量性质由 A 主导，偶极分量由 T 主导，各向同性极化率唯一地对 不敏感，因为秩为 2 的迹分解 需要；T/A 的预测功率比将向量可观测量与标量可观测量分离，比例为五倍。在完整 QM9（130,831 分子）上，-SVD 以岭回归提供的预测，参数数目约为参数匹配 MLP 的 50-90 倍。代数等变性因此不作为更快更好更便宜的替代方案来补充架构等变性，而是作为不同的数学 affordance：可证明最优的保持对称性压缩、每个不可约表示的可解释性以及数据驱动的物理发现。
引用
@article{arxiv.2605.20440,
title = {Group-Algebraic Tensors: Provably-optimal Equivariant Learning and Physical Symmetry Discovery},
author = {Paulina Hoyos and Shashanka Ubaru and Dongsung Huh and Vasileios Kalantzis and Kenneth L. Clarkson and Misha Kilmer and Haim Avron and Lior Horesh},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.20440},
year = {2026}
}