混合张量积、Capelli Berezin 量以及 $\mathfrak{gl}(m|n)$ 的牛顿公式

本文扩展了 Grantcharov 和 Robitaille 于 2021 年关于混合张量积和 Capelli 行列式的结果至超代数情形。具体而言，我们构造了一族超代数同态 $\varphi_R : U(\mathfrak{gl}(m+1|n)) \rightarrow \mathcal{D}'(m|n) \otimes U(\mathfrak{gl}(m|n))$，其中 $\mathcal{D}'(m|n)$ 为由 $\mathcal{D}'(m|n) \otimes U(\mathfrak{gl}(m|n))$ 中某个中心元 $R$ 索引的差分算子空间。随后我们利用该同态确定 Gelfand 生成器在 $U(\mathfrak{gl}(m+1|n))$ 中心的像。为实现此目标，我们首先将 $\varphi_R$ 关联到相应的 Harish-Chandra 同态，然后证明 $\mathfrak{gl}(m)$ 的超类牛顿公式，关联 Capelli 生成器与 Gelfand 生成器。我们还利用同态 $\varphi_R$ 从 $U(\mathfrak{gl}(m|n))$ 的表示构造 $U(\mathfrak{gl}(m+1|n))$ 的表示，并找出这些扩张为简单形式的条件。最后，我们指出对于 $\mathcal{D}'(m|n)\otimes U(\mathfrak{gl}(m|n))$ 中一个特选中心元 $R_1$，$\varphi_{R_1}$ 的核为 $U(\mathfrak{gl}(m+1|n))$ 由第一个 Gelfand 不变量 $G_1$ 生成的理想。