$\widetilde{GL}(r)$ 自守表示的 Metaplectic 张量积

设 $M=GL_{r_1}\times\cdots\times GL_{r_k}\subseteq GL_r$ 为 $GL_r$ 的一个 Levi 子群，其中 $r=r_1+\cdots+r_k$，$\tilde{M}$ 为其在 $GL_r$ 的 metaplectic 覆盖 $\tilde{GL}_r$ 中的 metaplectic 原像。对于 $\tilde{GL}_{r_1}(\A),\dots,\tilde{GL}_{r_k}(\A)$ 的自守表示 $\pi_1,\dots,\pi_k$，我们构造了 $\tilde{M}(\A)$ 的一个自守表示 $\pi$，可将其视为表示 $\pi_1,\dots,\pi_k$ 的“张量积”。这是 P. Mezo 定义的 metaplectic 张量积的全局类比，即在每个局部位置 $v$，$\pi_v$ 等价于 Mezo 定义的 ${\pi_1}_v,\dots,{\pi_k}_v$ 的局部 metaplectic 张量积。随后我们证明，如果所有 $\pi_i$ 均为尖点形式（resp. 模中心平方可积），则 metaplectic 张量积也是尖点形式（resp. 模中心平方可积）。我们还证明了（在局部和全局上）metaplectic 张量积在 Weyl 群元素作用下的表现符合预期，并展示了其与抛物诱导的相容性。