负底数下的最优数表示

对于给定的底数 $\gamma$ 和数字集 ${\mathcal B}$，我们考虑 Dajani 等人于 2012 年定义的数 $x$ 的最优表示。对于非整数负底数 $\gamma=-\beta<-1$ 和数字集 ${\mathcal A}_\beta:={0,1,...,\lceil\beta\rceil-1}$，若最优表示存在，我们推导出生成该表示的变换。我们表明，与负整数底数的情形不同，几乎没有任何 $x$ 具有最优表示。对于正底数 $\gamma=\beta>1$ 和字母表 ${\mathcal A}_\beta$，我们对 Dajani 等人获得的结论提供了另一种证明。