数的谱的两个应用

设基 $\beta$ 为一个复数，$|\beta|>1$，并设 $A \subset \C$ 为一个有限数字字母表。$\beta$ 的 $A$-谱 为集合 $S_{A}(\beta) = \{\sum_{k=0}^n a_k\beta^k \mid n \in \mathbb{N}, \ a_k \in {A}\}$。我们证明谱 $S_{{A}}(\beta)$ 具有聚点当且仅当 $0$ 具有一种特定的 $(\beta, A)$-表示，称为 刚性 表示。第一个应用限于 $\beta >1$ 且字母表为 $A=\{-M, \ldots, M\}$（$M \ge 1$ 整数）的情形。我们证明 $0$ 的无限 $(\beta, A)$-表示之集合 $Z_{\beta,M}$ 能被有限 Büchi 自动机识别，当且仅当谱 $S_A(\beta)$ 无聚点。利用 Akiyama-Komornik 和 Feng 的结果，这意味着对于任意正整数 $M \ge \lceil \beta \rceil -1$，$Z_{\beta, M}$ 能被有限 Büchi 自动机识别当且仅当 $\beta$ 为 Pisot 数。这改进了先前的界 $M \ge \lceil \beta \rceil$。第二个应用中基与数字均为复数。我们考虑将 Trivedi 和 Ercegovac 的在线除法算法推广到复数进制系统。在在线算术中，操作数与结果以数字串行方式处理，从最高有效位开始。除数必须远离 $0$，这意味着除数的 $(\beta,A)$-表示的任何前缀都不能小。若存在对除数的一个有限变换列表能实现此任务，则称数制 $(\beta,A)$ 允许预处理。我们证明 $(\beta,A )$ 允许预处理当且仅当谱 $S_{{A}}(\beta)$ 无聚点。