关于有限自动机在多重基下识别的实数集

本文研究了识别按位置记数法编码的实数集的有限自动机的表达能力。我们考虑了 Muller 自动机以及在实际应用中用作符号集表示的受限类——弱确定自动机。先前的工作已确立，在两个不具有相同素因子集合的基下，能被弱确定自动机识别的数集恰好是那些在实数与整数的一阶加法理论中可定义的集合。这一结果推广了 Cobham 定理，该定理刻画了能被有限自动机在多重基下识别的整数集。在本文中，我们首先将此结果推广到乘法独立基，使其更接近 Cobham 定理的原始表述。然后，我们研究了能被 Muller 自动机在两个基下识别的实数集。我们通过一个反例表明，在此设定下，Cobham 定理不能推广到乘法独立基。最后，我们证明，在两个不具有相同素因子集合的基下，能被 Muller 自动机识别的实数集恰好是那些在实数与整数的一阶加法理论中可定义的集合。因此，这些集合也能被弱确定自动机识别。这一结果给出了在多重基下可识别的实数集的精确刻画，并为使用弱自动机作为集合的符号表示提供了理论依据。