实与复数制系统中乘法与除法的在线算法

位置数制由基数和数字集给出。基数为实数或复数 $\beta$ 且满足 $|\beta|>1$，数字集 $A$ 为包含 $0$ 的有限数字集合。因此，一个数可被视为有限或无限的数字串。在线算法以串行方式逐段处理输入。由 Trivedi 和 Ercegovac 提出的在线算术是一种计算模式，其中操作数和结果以数字串行方式流经算术单元，从最高有效位开始。在本文中，我们首先针对 $\beta$ 为任意实数或复数且数字为实数或复数的情况，将 Trivedi 和 Ercegovac 的乘法与除法在线算法推广。然后，我们定义了所谓的 OL 性质，并证明如果 $(\beta, A)$ 具有 OL 性质，则通过 Trivedi-Ercegovac 算法进行在线乘法和除法是可行的。对于实基数 $\beta$ 和连续整数数字集 $A$，当 $\# A > |\beta|$ 时，系统 $(\beta, A)$ 具有 OL 性质。对于复基数 $\beta$ 和连续整数的对称数字集 $A$，当 $\# A > \beta\overline{\beta} + |\beta + \overline{\beta}|$ 时，系统 $(\beta, A)$ 具有 OL 性质。在系统 $(\beta, A)$ 中加减法可并行实现且分母可预处理的前提下，我们的在线乘法和除法算法具有线性时间复杂度。详细展示了三个示例：基数为 $\beta=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，数字集为 $A=\{-1,0,1\}$；基数为 $\beta=2i$，数字集为 $A = \{-2,-1, 0,1,2\}$；基数为 $\beta = -\frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = -1 + \omega$，其中 $\omega = \exp{\frac{2i\pi}{3}}$，数字集为 $A = \{0, \pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2 \}$。