并行加法算法的构造

一个模为 1 的共轭均不存在的代数数 $\beta \in \mathbb{C}$ 可作为具有并行加法的进位系统 $(\beta, \mathcal{A})$ 的基，即两个以基 $\beta$、数字取自 $\mathcal{A}$ 表示的操作数之和在常数时间内算出，与操作数长度无关。为允许并行加法，字母表 $\mathcal{A}$ 必须具备足够的冗余度。并行加法算法的复杂度严重依赖于字母表大小 $\#\mathcal{A}$：考虑的字母表越大，可达到的并行加法算法复杂度越低，反之亦然。此处我们旨在对给定基，在最小可能大小的字母表上寻找并行加法算法。由于这些算法的复杂度总体上极为巨大，我们引入所谓的扩展窗口法（EWM）——实际上是一种构造并行加法算法的算法。该方法可应用于扩张代数整数基 $\beta$，即所有共轭模均大于 1 的 $\beta$。EWM 的收敛性不保证，但我们已开发揭示不收敛的工具，且有众多成功应用。首先，EWM 给出了与 A. Avizienis、C.Y. Chow & J.E. Robertson 或 B. Parhami 先前针对整数基与字母表所引入的相同的并行加法算法。进而，通过将 EWM 应用于选定的具有非整数字母表 $\mathcal{A} \subset \mathbb{Z}[\beta]$ 的复数基 $\beta$，我们得到新结果——在最小可能大小字母表上的并行加法算法，这是迄今（手动）无法找到的。EWM 在分块并行加法情形下也有助益。