相对论性 Vlasov-Poisson 系统全局 Cauchy 问题的最优 $\mathfrak{L}^{\beta}$-控制

最近，M.K.-H. Kiessling 和 A.S. Tahvildar-Zadeh 证明了，当正的可积初始数据是球对称的、在动量空间中具有紧支集、在角动量为零的特征线上消失，并且对于 $\beta \ge 3/2$ 其 $\mathfrak{L}^{\beta}$-范数严格低于一个正临界值 $\mathcal{C}_{\beta}$ 时，相对论性 Vlasov-Poisson 系统存在唯一的全局经典解。在其他条件相同的情况下，对于任何 $\beta >1$，可以找到 $\mathfrak{L}^{\beta}$-范数超过 $\mathcal{C}_{\beta}$ 的数据导致有限时间爆破，且 $\mathcal{C}_{\beta}>0$ 当且仅当 $\beta\geq 3/2$。在他们的论文中，$\beta = {3}/{2}$ 的临界值被显式计算，而所有其他 $\beta$ 的临界值仅被表征为某个适当函数空间上泛函的下确界。本文证明了极小元的存在性，并根据著名的 Lane-Emden 函数计算了 $\mathcal{C}_{\beta}$ 的精确表达式。给出了 $\mathcal{C}_{\beta}$ 的数值计算以及临界指数 ${3}/{2}$ 附近的一些基本渐近行为。