两类变量下某类和平方算子的最优 Gevrey 正则性

对于整数 $q$、$a$ 满足 $a \geq 1$、$1 < q$、$(x, y) \in U$，$U$ 为 $\mathbb{R}^{2}$ 中原点邻域，我们考虑算子 $$D_{x}^{2} + x^{2(q-1)} D_{y}^{2} + y^{2a} D_{y}^{2} .$$ 略微修改 \cite{monom} 的证明方法，可见其为 Gevrey $s_{0}$ 次椭圆，其中 $s_{0}^{-1} = 1 - a^{-1} (q - 1) q^{-1}$。此处我们证明该值是最优的，即存在 $P u = f$ 的解，其中 $f$ 比 $G^{s_{0}}$ 更正则，但解并不优于 Gevrey $s_{0}$。上述算子当 $a = 1$、$q = 2$ 时退化为 M\'etivier 算子（\cite{metivier81}）。我们给出了该算子的特征流形描述及其与 Treves 关于平方和实解析正则性猜想的关系。