广义 Navier-Stokes-Voigt 方程弱解的最优存在性

在本研究中,我们研究了有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$(其中 $d \geq 2$)内的不可压缩广义 Navier-Stokes-Voigt 方程。控制动量方程表示为: $$\partial_t(\boldsymbol{v}- \kappa \Delta \boldsymbol{v}) + \nabla \cdot (\boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{v}) + \nabla \pi - \nu \nabla \cdot \left( |\mathbf{D}(\boldsymbol{v})|^{p-2} \mathbf{D}(\boldsymbol{v}) \right) = \boldsymbol{f}.$$ 这里,对于 $d \in \{2,3,4\}$,$\boldsymbol{v}$ 代表速度场,$\pi$ 表示压力,$\boldsymbol{f}$ 是外部强迫项。常数 $\kappa$ 和 $\nu$ 分别对应弛豫时间和运动粘度。参数 $p \in (1, \infty)$ 表征流体的流动行为,$\mathbf{D}(\boldsymbol{v})$ 表示速度梯度 $\nabla \boldsymbol{v}$ 的对称部分。对于满足当 $2\leq d\leq 3$ 时 $p>1$,以及当 $d=4$ 时 $p> \frac{2d}{d+2}$ 的幂律指数,我们建立了广义 Navier-Stokes-Voigt 系统弱解的存在性。此外,我们证明了在相同的 $p$ 范围内弱解的唯一性。结果是最优的,因为对于 $2 \leq d \leq 3$,$p>1$ 是最小的。此外,对于 $d>3$ 且 $p>\frac{2d}{d+2}$ 的情况,该框架使用了 Gelfand 三元组,使得 Aubin--Dubinski\u{\i} 引理能够产生近似解的强收敛。这种收敛性对于存在性证明是必不可少的,并且在 $d=4$ 时恰好对 $p>\frac{2d}{d+2}$ 成立。