广义随机 Navier-Stokes-Voigt 方程弱解的存在性与唯一性

在这项工作中，我们考虑了在有界域 $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$, $d\geq 2$ 中，由乘性高斯噪声驱动的不可压缩广义 Navier-Stokes-Voigt 方程。所考虑的动量方程由下式给出：\begin{align*} \mathrm{d}\left(\boldsymbol{u} - \kappa \Delta \boldsymbol{u}\right) = \left[\boldsymbol{f} +\operatorname{div} \left(-\pi\mathbf{I}+\nu|\mathbf{D}(\boldsymbol{u})|^{p-2}\mathbf{D}(\boldsymbol{u})-\boldsymbol{u}\otimes \boldsymbol{u}\right)\right]\mathrm{d} t + \Phi(\boldsymbol{u})\mathrm{d} \mathrm{W}(t). \end{align*} 在 $d=2,3$ 的情况下，$\boldsymbol{u}$ 表示速度场，$\pi$ 是压力，$\boldsymbol{f}$ 是体积力，最后一项代表随机力。这里，$\kappa$ 和 $\nu$ 是给定的正常数，分别表示运动粘度和弛豫时间，幂律指数 $p$ 是另一个表征流动的常数（假设 $p>1$）。我们使用常用符号 $\mathbf{I}$ 表示单位张量，$\mathbf{D}(\boldsymbol{u}):=\frac{1}{2}\left(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^{\top}\right)$ 表示速度梯度的对称部分。对于 $p\in\big(\frac{2d}{d+2},\infty\big)$，我们首先证明了鞅解的存在性。然后我们展示了解的路径唯一性。我们运用经典的 Yamada-Watanabe 定理来确保唯一概率强解的存在性。