平均场 Kuramoto 模型中速度与 nonlocal 相互作用的最优控制

本文研究如何控制并利用 Kuramoto 振子群的自同步特性，以实现目标密度与目标相位相干性。在振子数量趋于无穷的极限下，个体密度 collective 动力学由一个非局部 PDE 形式的平均场模型描述，其中非局部性源于同步机制。在此平均场设定中，我们引入两个时空相关控制输入来影响振子密度：一个对应于个体 agent 状态反馈律的角速度场，以及一个调节 agent 随空间和时间相互作用强度的控制参数，即关于积分非局部项的乘性控制。我们将密度跟踪问题构建为 PDE 约束优化问题。受控同步与锁相使用经典极序度量衡量。在建立平均场模型的质量守恒性质及其非局部项界之后，利用拉格朗日方法导出一组一阶最优性必要条件。该最优性系统由状态动力学方程的非局部 PDE、相应的非局部伴随动力学以及欧拉方程组成，按照标准的先优化后离散（Optimize-then-Discretize）方法和基于谱方法的高效数值求解器迭代求解。我们在仿真中针对两种控制输入分别展示了我们的方法。