一般控制域下热方程最小范数控制的最优执行器位置

本文研究了控制定义在空间 $L^p(0,T;L^2(\Omega))$ 中的多维热方程的最小范数控制的最优执行器位置问题。执行器域 $\omega$ 非常一般，仅要求其具有预设的勒贝格测度。我们构建了一个松弛问题，并将其转化为一个两人零和博弈问题。通过博弈论，我们针对 $p\in[2,+\infty]$ 推导出了松弛最优执行器位置存在的充要条件，该条件由相关博弈问题的纳什均衡刻画。一个有趣的情形是 $p=2$，此时表明无需附加条件即可从松弛最优执行器位置获得经典最优执行器位置。最后，针对 $p=2$ 的情形，给出了经典最优执行器位置的充要条件。