具有随机初始数据的抛物型方程传感器的最优形状与位置
最优化与控制
2015-06-19 v1
摘要
在本文中，我们考虑 的有界开连通子集 上的抛物型方程。我们建模并研究了具有规定测度的观测域的最优形状与位置问题。该问题的动机源于如何在一个区域中塑造和放置传感器以最大化观测质量的问题：例如，温度计的最优位置和形状是什么？我们证明，考虑一个谱最优设计问题是恰当的，该问题对应于经典可观测性不等式在随机初始数据上的平均值，其中未知量遍取 中具有固定测度的所有可能可测子集。我们证明，在适当的充分谱假设下，该最优设计问题具有唯一解，该解仅依赖于有限个模式，且最优域是半解析的，从而具有有限个连通分支。这一结果与文献 [56] 中研究的双曲守恒方程（波动方程和 Schrödinger 方程）形成鲜明对比，对于后者会发生松弛。我们还提供了在反常扩散或 Stokes 方程中的应用实例。在底层算子为 Dirichlet-Laplacian 负算子的任意正（可能为分数）幂的情况下，我们证明，令人惊讶的是，最优域的复杂性可能强烈依赖于域的几何形状和正幂。结果通过几次数值模拟进行了说明。
引用
@article{arxiv.1403.6445,
title = {Optimal shape and location of sensors for parabolic equations with random initial data},
author = {Yannick Privat and Emmanuel Trélat and Enrique Zuazua},
journal= {arXiv preprint arXiv:1403.6445},
year = {2015}
}