量子遍历域中多维波动方程和 Schr"odinger 方程的最优可观测性

我们考虑 Riemann 流形上有界开连通子集$\Omega$上的波动方程和 Schr"odinger 方程，当其边界非空时，配备 Dirichlet、Neumann 或 Robin 边界条件。我们在时间区间$[0,T]$（其中$T>0$）内观测解在$\Omega$的可测子集$\omega$上的限制。我们研究了在给定测度或体积分数的所有可能子集中，观测子集$\omega$的最优定位问题。我们在两种不同情况下解决了这个问题。首先，当给定特定的初始数据选择从而处理特定解时，我们证明该问题总是至少存在一个解，该解可以是正则的或分形类型的，具体取决于初始数据的正则性。随后，我们引入了一个不依赖于初始条件的相关判据，以统一的方式选择观测集，独立于所考虑的数据和解。通过谱分解，这导致了第二个问题，即最大化一个谱泛函，该泛函可被视为特征函数集中度的度量。该谱判据有两种解释方式：它既对应于观测时间区间趋于无穷大时的时间渐近可观测性常数，也对应于确定性可观测性不等式的随机化版本。在$\Omega$满足适当的量子遍历性假设下，我们计算了最优值。接着，我们提供了谱近似并展示了一些数值模拟，这些模拟完全证实了文中的理论结果并支持了我们的猜想。我们的结果突出了最优可观测性问题与所考虑域的量子遍历性质之间的精确联系。