高温下 SK 模型关联矩阵算子范数的界

我们证明 Sherrington-Kirkpatrick 模型的两点关联矩阵 $\textbf{M}= (\langle \sigma_i ; \sigma_j\rangle)_{1\leq i,j\leq N} \in \mathbb{R}^{N\times N}$ 具有如下性质：对每个 $\epsilon>0$，存在与 $N$ 无关的 $K_\epsilon>0$，使得当 $N$ 足够大时，在副本对称区域中合适的相互作用与外部场参数 $(\beta,h)$ 下，$$\mathbb{P}\big( \| \textbf{M} \|_{\text{op}} \leq K_{\epsilon}\big) \geq 1- \epsilon$$。换言之，$\textbf{M}$ 的算子范数以高概率为常数阶。我们的结果特别对所有的 $(\beta,h)\in (0,1)\times (0,\infty)$ 成立，从而补充了文献 \cite{EAG,BSXY} 中近期获得的结果——该结果在外场为零的特殊情形下蕴含了对所有 $\beta<1$ 的 $\textbf{M}$ 算子范数有界性。