副本对称机制下多物种 Sherrington-Kirkpatrick 模型的涨落结果

我们研究一般多物种 Sherrington-Kirkpatrick（MSK）模型的副本对称区域，并回答 Ann.~Probab.~43~(2015), no.~6, 3494--3513 中提出的一些问题，其中作者在无序协方差矩阵 $\Delta^2$ 的\emph{正定}假设下证明了 Parisi 公式。首先，我们对\indf~和\emph{正定} $\Delta^2$ 的 MSK 模型均证明了高温下的指数重叠集中。我们还利用重叠集中证明了自由能的中心极限定理。此外，在零外场情形，我们利用二次耦合论证证明了直至 $\beta_c$（预期为临界逆温度）的重叠集中。该论证对\emph{正定}与\emph{不定} $\Delta^2$ 均成立，且 $\beta_c$ 在两种情形下表达式相同。其次，我们发展了物种态腔方法研究重叠涨落，并得到重叠的渐近方差-协方差矩阵，其为矩阵值线性系统的解。渐近方差也从副本对称（RS）侧给出了 de Almeida--Thouless（AT）线条件。我们的物种态腔方法不要求 $\Delta^2$ 正定。但似乎\emph{正定}与\emph{不定}情形下的 AT 线条件不同。最后，在\emph{正定} $\Delta^2$ 情形，我们在某些自然假设下证明了在 AT 线之上 MSK 模型处于副本对称破缺相。这将 J.~Stat.~Phys.~174 (2019), no.~2, 333--350 的结果从 2 物种推广到一般物种。