由大量二次曲面定义的簇及其在纠错码中的应用

设 $U$ 为定义在 $\mathrm{PG}(k-1,{\mathbb F})$ 上的二次型构成的 $({ k-1 \choose 2}-1)$ 维子空间，且具有性质：$U$ 不包含任何可约二次型。令 $V(U)$ 为 $\mathrm{PG}(k-1,{\mathbb F})$ 中被 $U$ 中所有二次型取零的点。我们将证明，若存在一个群 $G$ 固定 $U$ 且不固定 $\mathrm{PG}(k-1,{\mathbb F})$ 的任意直线，且 $V(U)$ 张成 $\mathrm{PG}(k-1,{\mathbb F})$，则 $\mathrm{PG}(k-1,{\mathbb F})$ 的任意超平面至多与 $V(U)$ 的 $k$ 个点关联。若 ${\mathbb F}$ 为有限域，则以 $V(U)$ 的点为列所生成的矩阵对应的线性码是长度为 $|V(U)|$、维数为 $k$ 且最小距离至少为 $|V(U)|-k$ 的线性码。具有这些参数的线性码是 MDS 码或几乎 MDS 码。我们将构造此类子空间 $U$ 和群 $G$ 的例子，包括正规有理曲线、椭圆曲线、Glynn 在 \cite{Glynn1986} 中的弧以及其他通过计算机搜索发现的例子。我们猜想，$V(U)$ 从任意 $k-4$ 个点的投影包含于两个二次曲面的交中，即两个线性无关二次型的公共零点。这将强化 Fano 的经典定理，而该定理本身是 Castelnuovo 定理的推广，我们给出了仅使用线性代数的证明。