厚化抛物线上的格点与超曲面附近的有理点

在$\mathbb{R}^n$中，对非退化$C^4$超曲面$M$，我们刻画了作为最不良有理点近似超曲面的有理二次型。给定$M$不同于有理二次型的情形，我们给出对$M$附近非常接近的有理点数的 heuristics sharp下界，改进了Beresnevich和Huang此前结果的灵敏度。我们的方法是动力学的，依赖于对$\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$中1参数单偏导群$U$的Ratner定理应用，其中满足$u - \mathrm{Id}$在每个$u \in U$上的秩至多为2。作为我们的工作的一部分，我们研究$\mathrm{SL}_n(\mathbb{Q})$的代数子群，其实点集合可包含此类子群。