流形附近的有理点、齐次动力系统与振荡积分

设 $\mathcal{M}\subset \mathbb{R}^n$ 为维数 $d$ 的紧致且充分光滑的流形。假设 $\mathcal{M}$ 处处非完全平坦。令 $N_{\mathcal{M}}(\delta,Q)$ 表示距 $\mathcal{M}$ 在 $\delta/q$ 范围内且 $q \in [Q,2Q)$ 的有理向量 $\mathbf{a}/q$ 的个数。我们发展了一种分析 $N_{\mathcal{M}}(\delta,Q)$ 的新方法。我们技术的一个显著特征是将 Bernik、Kleinbock 和 Margulis 给出的强定量非发散估计与傅里叶分析工具相结合。第二个要素使我们能够避开 Dani 对应以及显式使用数的几何。我们运用这一新方法在强意义下解决 Beresnevich 关于非解析流形上 $N_{\mathcal{M}}(\delta,Q)$ 下界的一个问题。此外，我们得到了渐近公式，这是针对此类一般流形族的首批结果。作为副产品，我们改进了 Beresnevich 和 Yang 近期突破性工作中关于 $N_{\mathcal{M}}(\delta,Q)$ 的上界，并恢复了其针对任意非退化子流形的收敛型 Khintchine 定理。而且，对于接近 $1/n$ 的一系列丢番图指数，我们获得了良逼近点集的新 Hausdorff 维数与测度精细化结果。