流形与分形上的外在丢番图逼近

固定$d\in\mathbb N$，设$S\subseteq\mathbb R^d$要么是实解析流形，要么是迭代函数系统的极限集（例如，$S$可以是康托集或冯·科赫雪花）。点$\mathbf x\in S$的一个$外在$丢番图逼近是一个位于$S$外部的有理点$\mathbf p/q$接近$\mathbf x$。这些逼近对应于K. Mahler（'84）关于康托集提出的一个问题。我们的主要结果是Dirichlet定理的一个外在类比。具体而言，我们证明：如果$S$不包含线段，那么对于每个$\mathbf x\in S\setminus\mathbb Q^d$，存在$C > 0$，使得无穷多个向量$\mathbf p/q\in \mathbb Q^d\setminus S$满足$\|\mathbf x - \mathbf p/q\| < C/q^{(d + 1)/d}$。由于该公式与$\mathbb R^d$中的Dirichlet定理相差一个乘法常数，因此可以得出结论：位于$S$外部的$S$中点的有理逼近集是大的。此外，我们从已知结果推导出Jarník-Schmidt和Khinchin定理的外在类比。