具特定曲率条件的紧致流形附近及之上的有理点密度

在本文中，我们建立了到$\mathbb{R}^M$的紧致子流形$\mathcal{M}$给定距离内、分母有界的有理点个数的渐近公式，其中$\mathcal{M}$满足特定曲率条件。我们的结果推广了Huang关于超曲面的早期工作[J.-J. Huang, The density of rational points near hypersurfaces, Duke Math. J. 169 (2020), 2045--2077.]，因为当$M - dim \mathcal{M} = 1$时，我们的曲率条件退化为高斯曲率远离$0$。我们结果的一个有趣特征是，该渐近公式在超出所猜想的到$\mathcal{M}$距离范围内仍成立。此外，当$M - dim \mathcal{M} > 1$时，对于$\mathcal{M}$上有理点个数，我们得到了一个上界，并相对于$\mathbb{R}^M$紧致子流形的Serre维数增长猜想类比形式中的界具有额外的幂次节省。