关于第一拉普拉斯特征值的 Yang-Yau 不等式

在 1980 年发表的一篇开创性论文中，P. C. Yang 和 S.-T. Yau 证明了一个不等式，该不等式以亏格 $\gamma$ 和面积为限界定了可定向黎曼曲面上拉普拉斯算子的第一特征值。根据 J. Hersch 的早期结果，Yang-Yau 估计中的等式在 $\gamma=0$ 时成立；而 S. Nayatani 和 T. Shoda 最近证明其在 $\gamma=2$ 时亦成立。在本文中，我们结合代数几何与极小曲面理论的技术，证明了对所有亏格 $\gamma> 2$，Yang-Yau 不等式是严格成立的。此前这仅在 $\gamma=1$ 时已知。在论文的第二部分，我们应用 Chern-Wolfson 的调和序列概念，得到了从曲面到球面的调和映射的全分支阶数的上界。讨论了这些结果在特征值极值度量中的应用。