关于线性矩阵方程 $X=Af(X)B+C$ 的解

在本文中，我们通过寻找特定 Stein 矩阵方程 $\mathcal{X}=\mathcal{A} \mathcal{X} \mathcal{B}+\mathcal{C}$ 的任意解，推导出了一个计算线性矩阵方程 $X=Af(X)B+C$ 解的公式，其中线性（或反线性）矩阵算子 $f$ 是 $n$ 周期的。根据该公式，我们应高度重视利用近期著名的数值方法求解 Stein 矩阵方程，例如 Smith 型迭代、Bartels-Stewart 算法等。此外，该变换被用于提供线性矩阵方程可解的充要条件。另一方面，可以证明线性矩阵方程的通解可由 Stein 矩阵方程的通解表示。文中推导了线性矩阵方程唯一可解的必要条件。结果表明该公式的几种表示形式是一致的。最后列举了一些例子来说明和解释我们的结果。