用预条件迭代法求解形如 $(A + \gamma UU^T)\, {\bf x} = {\bf b}$ 的线性系统

我们考虑大型线性方程组的迭代求解，其中系数矩阵为两项之和：一个稀疏矩阵 $A$ 和一个可能为稠密、秩亏的形如 $\gamma UU^T$ 的矩阵，其中 $\gamma > 0$ 是一个参数，在某些应用中可取为 1。矩阵 $A$ 本身可以是奇异的，但我们假设 $A$ 的对称半正定且 $A+\gamma UU^T$ 非奇异。此类线性系统在优化、流体力学、计算统计等领域频繁出现。我们研究了基于交替分裂方法并结合 Sherman-Morrison-Woodbury 矩阵恒等式的预条件策略。通过对来自不同应用领域的线性系统进行数值实验，展示了所提方法的潜力。