关于形如 $A^T A x=A^Tb+c$ 的系统的迭代求解

给定列满秩矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$（$m\geq n$），我们考虑一类特殊形式的线性方程组 $A^\top Ax=A^\top b+c$，其中 $x, c \in \mathbb{R}^{n}$ 且 $b \in \mathbb{R}^{m}$。方程右端出现的 $c$ 阻碍了最小二乘问题标准方法的直接应用。因此，我们研究替代求解方法，这些方法如同法方程那样利用系统的特殊结构以避免不稳定计算，例如显式形成 $A^\top A$。我们提出两种基于问题特定重构的迭代方法，并给出与每个问题相关的结构条件数的显式闭式公式。这些公式使我们能够比用于一般线性系统的标准前向误差估计（未考虑扰动的机构）计算出更准确的前向误差估计。在一组合成测试问题上展示了我们估计的相关性。数值实验突显了所提方法相比标准共轭梯度方法在鲁棒性与精度上的提升。还发现新方法在解精度方面可与标准直接方法相媲美。