含线性与反线性混合算子的复值非线性最小二乘问题的高效迭代求解

我们考虑如下场景：希望找到最优复向量 $\mathbf{x}\in\mathbb{C}^N$ 以最小二乘意义下满足 $\mathcal{A}(\mathbf{x}) \approx \mathbf{b}$，其中 $\mathbf{b} \in \mathbb{C}^M$ 为数据向量(可能含噪)，$\mathcal{A}(\cdot): \mathbb{C}^N \rightarrow \mathbb{C}^M$ 为测量算子。若 $\mathcal{A}(\cdot)$ 为线性，则退化为经典线性最小二乘问题，其具有众所周知的解析解及强大的迭代求解算法。然而，本工作考虑更复杂的情形：$\mathcal{A}(\cdot)$ 非线性，但可表示为若干线性算子与若干反线性算子的求和和/或复合。具有此结构的常见非线性操作包括复共轭或取复向量的实部与虚部。已有文献表明，这类线性/反线性混合最小二乘问题可通过将 $\mathbf{x}$ 视为 $\mathbb{R}^{2N}$ 中的向量而非 $\mathbb{C}^N$ 中的向量，映射为线性最小二乘问题。尽管该方法有效，但以实值优化问题替代原复值优化问题在实现上较复杂，且可能伴随计算复杂度增加。本工作中，我们描述理论与计算方法，使混合线性/反线性最小二乘问题可使用标准线性最小二乘工具迭代求解，同时保留原反问题所有的复值结构。给出一示例表明，该方法可简化实现并降低迭代求解算法的计算复杂度。