通过平行分解 Smith 形态和扩展欧几里得除法求解带约束的模线性系统

要求解整数线性系统 $Ax=b$，其中矩阵 $A$、向量 $b$ 和解 $x$ 必须为整数，可通过计算 $A$ 的不变因子 (Smith 标准型) 来实现。本文探讨了一个在实际应用中出现的新问题：给定 $A,b$ 在 $\zz_n$ 中的情况，要求解在 $\zz_n$ 中的模线性系统 $Ax=b\rem n$，并附加约束，即线性函数 $\phi(x)=\la w,x\ra$ 的值必须与 $n$ 互素。本文发展了将系统分解为 $n$ 的互素模 $p^{r(p)}$ (其中 $p$ 为素数) 的方法，并展示了这种分解如何简化 Smith 形态的计算。这是对已知的指数计算离散对数方法的扩展，该方法假设线性系统化简后的模为素数 (以求解素域上的简化系统)。本文还展示了如何通过计算增广矩阵 $[A,-p^{r(p)}I]$ 的不变因子以及 $w$ 在模 $p$ 下满足的条件来有效地解决该问题，其中 $p^{r(p)}$ 遍遍 $n$ 的所有素数因子。