面向混合有限元离散化椭圆问题的后验导引 $p$-鲁棒性多网格与域分解方法及其最优步长

本文发展了用于求解由二阶椭圆偏微分方程通过任意多项式次数 $p \ge 0$ 的 saddle-point 混合有限元离散化得到的线性系统的代数求解器。我们在二维和三维空间中分别提出一种多网格方法和一种两层域分解方法，这些方法由代数误差的后验估计器驱动。首先，我们将 [Mira\c{c}i, Pape\v{z}, and Vohral\'ik, SIAM J. Sci. Comput. 43 (2021), S117-S145] 的方法推广到混合有限元的情形。将多网格程序本身推广自然。然而，为获得类似的理论结果，仍需一种 $p$-鲁棒的多层稳定分解用于速度空间。在二维空间中，我们可将速度空间视为流函数拉格朗日空间的旋度，以便适用先前的结果。在三维空间中，我们设计一种新颖的稳定分解，将 [Falk and Winther, Found. Comput. Math. (2025), DOI 10.1007/s10208- 025-09700-2] 的一级高阶局部稳定分解与 [Hiptmair, Wu, and Zheng, Numer. Math. Theory Methods Appl. 5 (2012), 297-332] 的多层最低阶稳定分解相组合。这样，我们即可证明所提出的多网格求解器在每次迭代中均可 $p$-鲁棒地收敛，同时证明其关联的后验估计器具有 $p$-鲁棒的有效性。随后，我们利用这种多层方法论，定义一种两层域分解方法，其中子域由共享常见粗糙层顶点的重叠粗糙层单元构成。我们再次建立求解器的 $p$-鲁棒收敛及后验估计器的 $p$-鲁棒有效性。数值结果分别针对多网格方法和域分解方法给出，均证实了理论结论。