关于小Schröder半群 $\mathcal{SS}^{\prime}_{n}$

设 $[n]$ 为有限 $n-$ 链 $\{1, 2, \dots, n\}$，并设 $\mathcal{LS}_{n}$ 为Schröder幺半群，由 $[n]$ 上所有保序且递减的局部变换组成。进一步，设 $\mathcal{SS}^{\prime}_{n} = \{\alpha \in \mathcal{LS}_{n} : \, 1\not\in \text{ Dom } \alpha\}$ 为 $\mathcal{LS}_{n}$ 的子半群，由 $\mathcal{LS}_{n}$ 中所有定义域不包含 $1$ 的变换组成。对于 $1 \leq p \leq n$，设 $K(n,p) = \{\alpha \in \mathcal{SS}^{\prime}_{n} : \, |Im \, \alpha| \leq p\}$ 为 $\mathcal{SS}^{\prime}_{n}$ 的双边理想。此外，设 ${RSS}^{\prime}_{n}(p)$ 表示 $K(n,p)$ 的Rees商。本文证明，对于 $\{\mathcal{SS}^{\prime}_{n}, K(n,p), {RSS}^{\prime}_{n}(p)\}$ 中的任意 $S$，$S$ 对所有 $n$ 值都是右充足的，但对所有 $n \geq 2$ 不是左充足的。此外，Rees商 ${RSS}^{\prime}_{n}(p)$ 的秩被证明等于双边理想 $K(n,p)$ 的秩，即 $\binom{n-1}{p-1}+\sum\limits_{k=p}^{n-1}\binom{n-1}{k} \binom{k-1}{p-1}$。最后，确定 $\mathcal{SS}^{\prime}_{n}$ 的秩为 $3n-4$。