有限单调与单调递减部分变换的若干半群

设 $\mathcal{PMD}_{n}$ 为由所有单调且递减的部分变换组成的半群，设 $\mathcal{IMD}_{n}$ 为 $\mathcal{PMD}_{n}$ 中由所有单射且单调递减的变换组成的子半群。对于 $2\leq r\leq n$，设 $\mathcal{PMD}(n,r) =\{ \alpha\in \mathcal{PMD}_{n} : |\textrm{im}(\alpha)| \leq r\}$ 和 $\mathcal{IMD}(n,r)=\{ \alpha \in \mathcal{IMD}_{n} :|\textrm{im}(\alpha)| \leq r\}$。本文确定了 $\mathcal{PMD}(n,r)$ 和 $\mathcal{IMD}(n,r)$ 的基数、最大子半群与秩，并进一步验证了这些半群 $\mathcal{PMD}(n,r)$ 和 $\mathcal{IMD}(n,r)$ 对任意 $2\leq r\leq n$ 均为非正则但丰富的。