论 Schröder 幺半群的代数结构

设 $[n]$ 为有限链 $\{1, 2, \ldots, n\}$，设 $\mathcal{LS}_{n}$ 为由 $[n]$ 上所有保序且递减序的部分变换构成的半群。进一步，设 $\mathcal{SS}_{n} = \{\alpha \in \mathcal{LS}_{n} : \, 1 \in \text{Dom } \alpha\}$ 为 $\mathcal{LS}_{n}$ 的子半群，由 $\mathcal{LS}_{n}$ 中定义域包含 $1$ 的所有变换构成。对于 $1 \leq p \leq n$，设 $K(n,p) = \{\alpha \in \mathcal{LS}_{n} : \, |\text{Im } \, \alpha| \leq p\}$ 和 $M(n,p) = \{\alpha \in \mathcal{SS}_{n} : \, |\text{Im } \alpha| \leq p\}$ 分别为 $\mathcal{LS}_{n}$ 和 $\mathcal{SS}_{n}$ 的双侧理想。此外，设 ${RLS}_{n}(p)$ 和 ${RSS}_{n}(p)$ 分别表示 $K(n,p)$ 和 $M(n,p)$ 的 Rees 商。本文证明，对于任意 $S \in \{\mathcal{SS}_{n}, \mathcal{LS}_{n}, {RLS}_{n}(p), {RSS}_{n}(p)\}$，$S$ 对所有 $n$ 值均是富足的且由幂等元生成。此外，Rees 商 ${RLS}_{n}(p)$ 和 ${RSS}_{n}(p)$ 的秩被证明分别等于双侧理想 $K(n,p)$ 和 $M(n,p)$ 的秩。最后，这些秩分别被计算为 $\sum\limits_{k=p}^{n} \binom{n}{k} \binom{k-1}{p-1}$ 和 $\binom{n-1}{p-1}2^{n-p}$。