交换半环中 S-准素理想的研究

在本文中，我们定义了交换半环中 $S$-$k$-不可约理想和 $S$-$k$-极大理想的概念。我们还建立了关于 $S$-$k$-准素理想的若干结果，并利用局部化证明了 $S$-$k$-准素分解的存在性定理和唯一性定理的 $S$-版本。我们还证明了每个 $S$-准素理想的 $S$-根是 $R$ 的一个素理想。此外，我们研究了主理想半整环中 $S$-准素理想的结构，并证明了每个这样的理想都可以表示为 $I = (vp^n)$ 的形式，其中 $n\in \mathbf{N}$，且对于某个 $p \in \mathbf P -\mathbf P_S$ 和 $v\in R$ 使得 $(v)\cap S\neq \varnothing$，这里 $\mathbf P$ 是 $R$ 的所有不可约（素）元素的集合，而对于乘法子集 $S\subsetneq R$，集合 $\mathbf P_S$ 定义为 $\mathbf P_S=\{p\in \mathbf P : (p) \cap S \neq \varnothing \}$。