关于色 Delaunay mosaic 的大小

给定局部有限集 $A \subseteq \mathbb{R}^d$ 与染色 $\chi \colon A \to \{0,1,\ldots,s\}$,我们引入 $\chi$ 的色 Delaunay mosaic,它是 $\mathbb{R}^{s+d}$ 中的一个 Delaunay mosaic,用于表示不同颜色的点如何交织。我们的主要结果是对色 Delaunay mosaic 大小的估计,其中假设 $d$ 与 $s$ 为常数。例如,若 $A$ 为有限集且 $n = \#{A}$,且染色是随机的,则色 Delaunay mosaic 在期望下有 $O(n^{\lceil{d/2}\rceil})$ 个胞腔。相比之下,对于 $\mathbb{R}^d$ 中的 Delone 集与 Poisson 点过程,闭球内胞腔的期望数目仅是该球内点数的常数倍。此外,在 $\mathbb{R}^2$ 中,稠密 $n$ 点集的所有染色均有大小为 $O(n)$ 的色 Delaunay mosaic。这鼓励了色 Delaunay mosaic 在应用中的使用。