关于 B 型 Schur 代数的表示理论

我们研究 Lai、Nakano 和 Xiang 工作中引入的带不等参数的 B 型 Schur 代数 $\mathcal{L}^n(m)$ 的表示理论。对于 $q,Q$ 的通用值，该代数是半单的且与 Hecke 代数 Morita 等价，但对于特殊值，其模范畴更为复杂。我们通过与 Dipper、James 和 Mathas 的循环 $q$-Schur 代数的比较来研究该表示理论，并借此在 $\mathcal{L}^n(m)$ 上构造一个胞腔代数结构。这使我们能将 $\mathcal{L}^n(m)$ 的单模索引为 $n$ 的双分拆集合的一个子集。对于大的 $m$，这将是 $n$ 的所有双分拆当且仅当 $\mathcal{L}^n(m)$ 是拟遗传的，此时 $\mathcal{L}^n(m)$ 与循环 $q$-Schur 代数 Morita 等价。我们证明了 Lai、Nakano 和 Xiang 关于使此成立之 $(q,Q)$ 取值猜想的一个修正版本：若 $m$ 大而奇，则对所有满足 $\frac{4-n}{2}\leq k<n$ 的 $k$ 有 $Q\neq -q^k$；若 $m$ 大而偶，则对所有满足 $-n<k<n$ 的 $k$ 有 $Q\neq -q^k$。我们还证明了该结果的两个加强：当 $q$ 不是单位根时对单模的索引，以及对 $\mathcal{L}^n(m)$ 拟遗传块的一个刻画。