分圆 $q$-Schur 代数的新实现 I

我们引入一个李代数 $\mathfrak{g}_{\mathbf{Q}}(\mathbf{m})$ 和一个结合代数 $\mathcal{U}_{q,\mathbf{Q}}(\mathbf{m})$，它们与 $\mathfrak{gl}_m$ 的嘉当数据相关联，该数据关于 $\mathbf{m}=(m_1, \dots, m_r)$ 被分成 $r$ 部分，满足 $m_1+ \dots + m_r =m$。我们证明李代数 $\mathfrak{g}_{\mathbf{Q}} (\mathbf{m})$ 是 $\mathfrak{gl}_m$ 的当前李代数的滤过变形，并且我们可以将代数 $\mathcal{U}_{q, \mathbf{Q}}(\mathbf{m})$ 视为 $U(\mathfrak{g}_{\mathbf{Q}}(\mathbf{m}))$ 的“$q$-类比”。然后，在特定温和条件下，我们将分圆 $q$-Schur 代数实现为 $\mathcal{U}_{q, \mathbf{Q}}(\mathbf{m})$ 的商代数。我们还研究了 $\mathfrak{g}_{\mathbf{Q}}(\mathbf{m})$ 和 $\mathcal{U}_{q,\mathbf{Q}}(\mathbf{m})$ 的表示理论，并将其应用于分圆 $q$-Schur 代数的表示。