量子 $\frak {gl}_\infty$、无限 $q$-Schur 代数及其表示

本文研究了量子群 ${\mathbf{U}(\infty)}=\mathbf U_\upsilon(\frak{gl}_\infty)$ 的结构与表示。我们将遵循 Beilinson--Lusztig--MacPherson (BLM) \cite{BLM} 的方法给出 $\mathbf{U}(\infty)$ 的一个实现，并证明从 $\mathbf{U}(\infty)$ 到无限 $q$-Schur 代数 ${\boldsymbol{\mathcal S}}(\infty,r)$ 的自然代数同态 $\zeta_r$ 对于任意 $r\geq 1$ 均不是满射。我们将给出像 $\mathbf{U}(\infty,r):=\zeta_r(\mathbf{U}(\infty))$ 的 BLM 型实现，并讨论其生成元与关系的表述。此外，我们构造了一个特定的完备化代数 $\hat{\boldsymbol{\mathcal K}}^\dagger(\infty)$，使得 $\zeta_r$ 可以扩展为代数满同态 $\tilde\zeta_r:\hat{\boldsymbol{\mathcal K}}^\dagger(\infty)\to{\boldsymbol{\mathcal S}}(\infty,r)$。最后，我们将研究 ${\bf U}(\infty)$ 的表示论，特别是 ${\bf U}(\infty)$ 的多项式表示。