圆量子群与曲线的无穷根栈（附 Tatsuki Kuwagaki 的附录）

在本文中，我们给出圆 $S^1\colon =\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的量子群 $\mathbf{U}_\upsilon(\mathfrak{sl}(S^1))$ 及其基本表示的定义。此定义受如下事实启发：与有理圆 $S^1_\mathbb{Q}\colon= \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 相关的量子群 $\mathbf{U}_\upsilon(\mathfrak{sl}(S^1_\mathbb{Q}))$ 可实现为 $\mathbf{U}_\upsilon(\widehat{\mathfrak{sl}}(n))$ 的正向极限，其中序由正整数间的整除关系给出。量子群 $\mathbf{U}_\upsilon(\mathfrak{sl}(S^1_\mathbb{Q}))$ 作为定义在有限域上的固定光滑射影曲线 $X$ 的无穷根栈 $X_\infty$ 上凝聚层的 Hall 代数的子代数而出现。借助此 Hall 代数方法，我们能够在几何上实现 $\mathbf{U}_\upsilon(\mathfrak{sl}(S^1_\mathbb{Q}))$ 的基本表示、张量表示以及依赖于亏格 $g_X$ 的一族对称张量表示。此外，我们证明 $\mathbf{U}_\upsilon(\widehat{\mathfrak{sl}}(+\infty))$ 与 $\mathbf{U}_\upsilon(\widehat{\mathfrak{sl}}(\infty))$ 是 $\mathbf{U}_\upsilon(\mathfrak{sl}(S^1_\mathbb{Q}))$ 的子代数。如 T. Kuwagaki 在附录中所证，量子群 $\mathbf{U}_\upsilon(\mathfrak{sl}(S^1))$ 在镜像对偶图像中也自然出现，作为圆 $S^1$ 上可构造层的一个 Hall 代数。