量子群、单位根与量子化反德西特空间上的粒子

本文从量子场论的观点研究一般量子群，特别是量子反德西特群 $U_q(so(2,3))$。我们证明，若 $q$ 是适当的单位根，则存在有限维酉表示，它们对应于本质上所有的具有(半)整数自旋的经典单粒子表示，并且在低能下具有与经典情形相同的结构。在自旋 $\geq 1$ 的无质量情形中，“朴素”表示只有在模去一个“纯规范”子空间后才可酉化，与经典情形一样。我们定义了具有正确经典极限的酉多粒子表示。此外，我们在 $U_q(g)$ 的中心中辨识出一个 remarkable 元素 $Q$，在单位根处的 $U_q(so(2,3))$ 情形中，对于任意自旋 $\geq 1$，它起到 BRST 算符的作用。相关的鬼场是不可分解表示的内在组成部分。我们展示如何在一个对应于非全同粒子的例子中，在单位根处定义产生与湮灭算符代数上的对合。文中展示了非阿贝尔规范场如何在这个框架中自然出现，而无需在纤维丛上定义联络。我们还研究了量子欧氏空间、球面以及反德西特空间上的积分。我们给出一个猜想：一般地可利用 $Q$ 来分析不可分解表示的结构，并定义一种新的、完全可约的结合(张量)乘积表示，它推广了标准的“截断”张量积以及我们的多粒子表示。