表示理论与量子可积性

我们描述了对于 $\mathfrak{g}$ 为 $\mathfrak{gl}(N)$ 和 $\mathfrak{sl}(N)$ 时 $U(\mathfrak{g})$ 与 $U_q(\mathfrak{g})$ 的无限维表示的新构造。讨论了这些构造在 Toda 型量子可积理论中的应用。借助这些无限维表示，我们得以建立量子可积性的群论方法与基于 Yangian 及其推广的表示理论的量子逆散射方法之间的直接联系。在 $U_q(\mathfrak{g})$ 的情形，所考虑的表示自然配备 $U_q(\mathfrak{g})\otimes U_{\tilde q}(\check{\mathfrak{g}})$-双模结构，其中 $\check {\mathfrak{g}}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的 Langlands 对偶，且 $\log q/2\pi i=- (\log{\tilde q}/2\pi i)^{-1}$。这一双模结构是代数与其对偶的 Morita 等价的体现。